極限是整個高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的工具，高數(shù)中很多重要概念例如導(dǎo)數(shù)、定積分、二重積分等都是由極限定義出來的。就考研數(shù)學(xué)考查的計算題來說，極限的計算占據(jù)很大一部分，能否快速準(zhǔn)確地判定出類型采取正確的方法來進(jìn)行計算影響到整張試卷的成敗。

千里之行始于足下，作為高等數(shù)學(xué)的第一章，把它學(xué)好具有非常重要的意義。那么準(zhǔn)備2016年考研的同學(xué)，在基礎(chǔ)階段(到6月底止)如何去復(fù)習(xí)極限部分的內(nèi)容呢?應(yīng)該掌握到何種程度呢?

 

基礎(chǔ)階段，我們的目標(biāo)是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基礎(chǔ)階段學(xué)習(xí)極限應(yīng)從兩個方面著手，一是極限的定義，二是極限的運(yùn)算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解，理解的意思并不是會背誦定義內(nèi)容，而是能夠領(lǐng)會定義內(nèi)容背后的所蘊(yùn)含的含義，正確理解所代表的任意小以及代表的距離。

 

除定義本身以外，極限的趨近狀態(tài)也要注意區(qū)分，對于函數(shù)來說有六種趨近狀態(tài)：各自的含義要非常清楚，而數(shù)列只有一種趨近狀態(tài) ，雖然沒有指明，但是數(shù)列里邊的隱含之意為 。

 

極限的計算則需要首先掌握考研數(shù)學(xué)要考到的七種基本方法，知道七種方法適用的情況。第一種是四則運(yùn)算，此方法大家最為熟悉，但比較容易出錯，需要注意使用四則運(yùn)算的前提是進(jìn)行運(yùn)算的函數(shù)極限必須都是存在的;第二種是等價無窮小替換，這一方法比較受歡迎，而且很多極限計算的問題只需經(jīng)過等價無窮小代換就能得出結(jié)果，不需再使用其他方法，需要注意的是等價無窮小代換前提必須首先是無窮小才可代換，另外只能在乘積因子內(nèi)代換(有些是可以在加減因子中代換的，但是在沒有十足把握的情況下應(yīng)避免使用在加減因子中代換);第三種是洛必達(dá)法則，適用于 及 型未定式，在使用的過程中需要注意一下幾點(diǎn)：1、洛必達(dá)法則必須結(jié)合等價無窮小使用;2、使用一次整理一次;3、其他類型未定式需要轉(zhuǎn)化成 及 型才可以使用洛必達(dá)法則等;第四種是泰勒展式，這是解決極限問題的利器，在基礎(chǔ)階段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的內(nèi)容即可，具體使用原則會在強(qiáng)化階段給出;第五種是夾逼定理，主要用于解決含有不等式關(guān)系的極限問題，特別應(yīng)用于 個分式之和的數(shù)列極限問題，通過放縮分母來達(dá)到出現(xiàn)不等關(guān)系的目的;第六種是定積分的定義，與夾逼定理相區(qū)別，夾逼定理解決的問題放縮分母后分子可用一個式子去表示，而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問題，通過主要的三步：1、提取，2、湊出，3、極限符號及連加符號改寫為，改寫為，改寫為計算定積分即可解決個分式之和的數(shù)列極限問題;第七種方法是適用于數(shù)列極限的單調(diào)有界性定理，難點(diǎn)在于如何確定證明方向，一般單調(diào)有界性定理適用于由遞推公式給出的數(shù)列極限問題，因此可采取數(shù)學(xué)歸納法證明有界性，做差的辦法證明單調(diào)性。

 

以上，從大的框架結(jié)構(gòu)上給出了極限一章極限定義和極限計算的常用方法，希望同學(xué)們對這一章有一個宏觀的把握，但是具體的細(xì)節(jié)掌握還還有待進(jìn)一步細(xì)致的學(xué)習(xí)，比如分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限如何處理，哪些函數(shù)需要討論單側(cè)極限，冪指函數(shù)又是如何求極限的呢?這些都是考驗(yàn)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，需要引起大家的高度重視，在復(fù)習(xí)的過程中要多留心多總結(jié)把重要的方法記錄下來，錯題記錄下來方便后續(xù)的自我檢查。