二重積分是考研數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而它的性質(zhì)(不等式性質(zhì)、普通對陣、輪換對稱性質(zhì))是常考的出題點，且形式多變。因此考生在復(fù)習(xí)中要認(rèn)真理解和把握。下面我們詳細(xì)和大家來談?wù)勥@三種性質(zhì)，方便考生熟練掌握。
首先，我們看二重積分的不等式性質(zhì)。此性質(zhì)在05年數(shù)三的真題中就出現(xiàn)過，當(dāng)時是以選擇題的形式出現(xiàn)的。對于積分區(qū)域相同的二重積分，它們的大小就完全由在區(qū)域上被積函數(shù)的大小來決定，函數(shù)越大，積分值就越大。
二重積分的對稱性質(zhì)，可分為普通對稱和輪換對稱。
關(guān)于普通對稱：當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于x對稱，我們往往要考慮其被積函數(shù)是否為y的奇偶函數(shù)，當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱時，我們往往也要考慮其被積函數(shù)是否為x的奇偶函數(shù)，這樣來簡化二重積分的計算，當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于原點對稱，我們往往要考慮其被積函數(shù)是否是為x，y的奇偶函數(shù)。有些題目中可能積分區(qū)域?qū)ΨQ性不是那么明顯，需要我們稍微分割下來看其是否關(guān)于坐標(biāo)軸對稱。這種題目在09年數(shù)一，12年數(shù)二等都出現(xiàn)過。
關(guān)于輪換對稱：對于二重積分的輪換對稱時教科書上沒有的知識點，但是考研中也是有此類題出現(xiàn)的，比如，05年的數(shù)二，就出現(xiàn)過用輪換對稱來做的選擇題。當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y=x對稱時或者當(dāng)x, y互換后，積分區(qū)域D不變時我們往往就要往輪換對稱上考慮了。對于這種利用輪換對稱性質(zhì)來簡化運算的，我們一定要掌握住，特別是數(shù)一的同學(xué)，因為在后面的三重積分、曲面積分和曲線積分中也都有坐標(biāo)輪換對稱性質(zhì)。
另外，我們在學(xué)習(xí)二重積分的性質(zhì)時，應(yīng)將定積分與二重積分的概念、性質(zhì)加以對比學(xué)習(xí)，比較它們的相同點與不同點，使復(fù)習(xí)更有成效。對于二重積分這一部分的內(nèi)容，我們不但要會計算它，關(guān)于二重積分的有關(guān)性質(zhì)我們也要很熟練的掌握。這樣我們在做有關(guān)二重積分時，包括計算二重積分時，也是常常要先化簡后再計算的。對于這些性質(zhì)，同學(xué)們可以對做一些題目來記憶鞏固。
定積分中還有定積分的幾何意義，而二重積分中也有，可以參照定積分的幾何意義來理解。而二重積分的比較性質(zhì)，可加性質(zhì),包括被積函數(shù)的可加性和積分區(qū)域的可加性，這些性質(zhì)與定積分中的可加性相仿，也可以對比學(xué)習(xí)理解。
