考試大綱不僅能給你一個(gè)復(fù)習(xí)的方向，還能幫助你梳理整個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，方便記憶。今天，小編為大家整理了“2023考研大綱：湖南師范大學(xué)2023年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合》考試大綱”的相關(guān)內(nèi)容，希望對大家有所幫助！
湖南師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱
考試科目代碼：750考試科目名稱：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合
一、考試內(nèi)容及要點(diǎn)
（一）數(shù)學(xué)分析部分
1、函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)函數(shù)關(guān)系的建立
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限
函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
考試要點(diǎn)
（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.
（2）了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性．
（3）理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．
（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.
（5）理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系．
（6）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.
（7）掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法．
（8）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限．
（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型．
（10）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)．
2、一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達(dá)（L’Hospital）法則函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小值
考試要點(diǎn)
（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系．
（2）掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分．
（3）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．
（4）會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
（5）理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理．
（6）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法．
（7）理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用．
（8）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形．
3、一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分反常（廣義）積分定積分的應(yīng)用
考試要點(diǎn)
（1）理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念．
（2）掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．
（3）會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分．
（4）理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式．
（5）了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分．
（6）掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積.
4、多元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分全微分存在的必要條件和充分條件多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線二元函數(shù)的二階泰勒公式多元函數(shù)的極值和條件極值多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用
考試要點(diǎn)
（1）理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.
（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).
（3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.
（4）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法.
（5）掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.
（6）了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).
（7）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.
（8）了解二元函數(shù)的二階泰勒公式.
（9）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題.
5、多元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
二重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用
考試要點(diǎn)
（1）理解二重積分的概念，了解二重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理.
（2）掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）.
6、無窮級數(shù)
考試內(nèi)容
常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式
考試要點(diǎn)
（1）理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.
（2）掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.
（3）掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法和柯西（Caucy）積分判別法.
（4）掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法.
（5）了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系.
（6）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.
（7）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.
（8）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件.
（9）掌握，sinx，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù).
（二）高等代數(shù)
1、多項(xiàng)式
考試內(nèi)容
數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式。
考試要點(diǎn)
（1）掌握數(shù)域的定義，并會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。
（2）理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式相乘，次數(shù)，一元多項(xiàng)式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。
（3）理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。
（4）理解和掌握兩個(gè)（或若干個(gè)）多項(xiàng)式的最大公因式，互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。
（5）掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。了解因式分解定理。
（6）掌握k重因式的定義。
（7）掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念，余數(shù)定理，多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。
（8）掌握本原多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。掌握整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的計(jì)算。
2、行列式
考試內(nèi)容
排列，n級行列式的定義，n級行列式的性質(zhì)，n級行列式的展開，行列式的計(jì)算，克拉默(Cramer)法則，行列式的乘法規(guī)則。
考試要點(diǎn)
（1）掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對換的關(guān)系。
（2）理解n級行列式的定義，并能用定義計(jì)算一些特殊行列式。
（3）掌握行列式的基本性質(zhì)。
（4）理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡單行列式。
（5）理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握計(jì)算行列式的基本方法與技巧。
（6）熟練掌握克拉默(Cramer)法則，
3、線性方程組
考試內(nèi)容
消元法，n維向量空間，線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
考試要點(diǎn)
（1）掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。
（2）掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。
（3）理解線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。理解向量組的極大無關(guān)組、秩的定義，并會(huì)求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。
（4）掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。
（5）掌握線性方程組的有解判別定理，掌握線性方程組的公式解。
（6）理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。并對有解的一般線性方程組，會(huì)求其全部解。
4、矩陣
考試內(nèi)容
矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。
考試要點(diǎn)
（1）掌握矩陣的的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。
（2）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。
（3）掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè)矩陣的逆矩陣。
（4）理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。
（5）掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關(guān)系，掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。
（6）理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系，會(huì)求分塊矩陣的逆。
5、二次型
考試內(nèi)容
二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，唯一性，正定（半正定）二次型。
考試要點(diǎn)
（1）正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及二次型與對稱矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。
（2）理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種基本方法。
（3）理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性，了解符號(hào)差、慣性指數(shù)等概念，掌握慣性定理的證明思想。
（4）理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價(jià)條件。
6、線性空間
考試內(nèi)容
集合、映射，線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。
考試要點(diǎn)
（1）掌握線性空間的定義及性質(zhì)，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為線性空間。
（2）理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質(zhì)。
（3）基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。
（4）掌握基之間的過渡矩陣及其性質(zhì)。
（5）理解線性子空間的定義及判別定理，掌握線性方程組的解空間的概念和性質(zhì)，掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。
（6）掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，掌握維數(shù)公式并能熟練運(yùn)用。
（7）理解子空間的直和的概念，以及判斷直和的若干充要條件。
7、線性變換
考試內(nèi)容
線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形介紹。
考試要點(diǎn)
（1）掌握線性變換的定義及性質(zhì)。
（2）掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。
（3）掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系，掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。
（4）理解矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密頓-凱萊定理。
（5）掌握n維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的充要條件。
（6）掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念，掌握線性變換的值域與它對應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。
（7）掌握不變子空間的定義，會(huì)判定一個(gè)子空間是否是A-子空間，理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系，掌握將空間V按特征值分解成不變子空間和直和表達(dá)式。
（8）了解若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形及其相關(guān)性質(zhì)。
8、歐幾里德空間
考試內(nèi)容
定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，向量到子空間的距離。
考試要點(diǎn)
（1）理解歐氏空間的定義及性質(zhì)，理解內(nèi)積的本質(zhì)，掌握向量的長度，兩個(gè)向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，掌握各種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。
（2）理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量。
（3）理解正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，掌握正交變換與向量的長度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系。
（4）理解兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系，及有限維歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。
（5）理解并掌握任一個(gè)實(shí)對稱矩陣均可正交相似于一個(gè)對角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。
原文鏈接：https://yjsy.hunnu.edu.cn/info/1027/13242.htm
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