湖南師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱

 

考試科目代碼：[604]考試科目名稱：高等數(shù)學(xué)

 

一、考試內(nèi)容及要點(diǎn)

 

（一）微積分

 

1、函數(shù)、極限、連續(xù)

 

考試內(nèi)容

 

函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)函數(shù)關(guān)系的建立

 

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限:

 

函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.

 

（2）了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性．

 

（3）理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．

 

（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.

 

（5）理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系．

 

（6）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.

 

（7）掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法．

 

（8）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價(jià)無窮小量求極限．

 

（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型．

 

（10）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)．

 

2、一元函數(shù)微分學(xué)

 

考試內(nèi)容

 

導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達(dá)（L’Hospital）法則函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系．

 

（2）掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分．

 

（3）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．

 

（4）會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

 

（5）理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理．

 

（6）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法．

 

（7）理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用．

 

（8）會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的；當(dāng)時(shí)，的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形．

 

（9）了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑．

 

3、一元函數(shù)積分學(xué)

 

考試內(nèi)容

 

原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分反常（廣義）積分定積分的應(yīng)用

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念．

 

（2）掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．

 

（3）會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分．

 

（4）理解積分上限的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式．

 

（5）了解反常積分的概念，會計(jì)算反常積分．

 

（6）掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體體積等）及函數(shù)的平均值．

 

4、向量代數(shù)和空間解析幾何

 

考試內(nèi)容

 

向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積兩向量垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面柱面旋轉(zhuǎn)曲面常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示.

 

（2）掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件.

 

（3）理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.

 

（4）掌握平面方程和直線方程及其求法.

 

（5）會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題.

 

（6）會求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.

 

（7）了解曲面方程和空間曲線方程的概念.

 

（8）了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

 

（9）了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求該投影曲線的方程.

 

5、多元函數(shù)微分學(xué)

 

考試內(nèi)容

 

多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分全微分存在的必要條件和充分條件多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線多元函數(shù)的極值和條件極值多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.

 

（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

 

（3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.

 

（4）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法.

 

（5）掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.

 

（6）了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

 

（7）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

 

（8）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題.

 

6、多元函數(shù)積分學(xué)

 

考試內(nèi)容

 

二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲線積分的關(guān)系格林（Green）公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理.

 

（2）掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）.

 

（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.

 

（4）掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法.

 

（5）掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件.

 

7、無窮級數(shù)

 

考試內(nèi)容

 

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級數(shù)與級數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù)狄利克雷（Dirichlet）定理正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.

 

（2）掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.

 

（3）掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.

 

（4）掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法.

 

（5）了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系.

 

（6）了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念.

 

（7）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

 

（8）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.

 

（9）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件.

 

（10）掌握，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù).

 

（11）了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式.

 

8、常微分方程

 

考試內(nèi)容

 

常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用簡單的變量代換求解的某些微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程的簡單應(yīng)用

 

考試要點(diǎn)

 

（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

 

（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．

 

（3）會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程．

 

（4）會用降階法解下列形式的微分方程：

 

和．

 

（5）理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)．

 

（6）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.

 

（7）會解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．

 

（8）會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題．

 

（二）線性代數(shù)

 

1、行列式

 

考試內(nèi)容

 

行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行（列）展開定理

 

考試要點(diǎn)

 

（1）了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。

 

（2）會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計(jì)算行列式。

 

2、矩陣

 

考試內(nèi)容

 

矩陣的概念矩陣的線性運(yùn)算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式

 

矩陣的轉(zhuǎn)置逆矩陣的概念和性質(zhì)矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣的等價(jià)分塊矩陣及其運(yùn)算

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)。

 

（2）掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。

 

（3）理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

 

（4）了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法。

 

（5）了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算法則。

 

3、向量

 

考試內(nèi)容

 

向量的概念向量的線性組合與線性表示向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

 

向量組的極大線性無關(guān)組等價(jià)向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系向量的內(nèi)積線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法

 

考試要點(diǎn)

 

（1）了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則。

 

（2）理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。

 

（3）理解向量組的極大線性無關(guān)組的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩。

 

（4）理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系。

 

（5）了解內(nèi)積的概念。掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法。

 

4、線性方程組

 

考試內(nèi)容

 

線性方程組的克萊姆（Cramer）法則線性方程組有解和無解的判定齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解非齊次線性方程組的解與相應(yīng)的齊次線件方程組（導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系非齊次線性方程組的通解

 

考試要點(diǎn)

 

（1）會用克萊姆法則解線性方程組。

 

（2）掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法。

 

（3）理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。

 

（4）理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。

 

（5）掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

 

5、矩陣的特征值和特征向量

 

考試內(nèi)容

 

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)相似矩陣的概念及性質(zhì)矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣

 

考試要點(diǎn)

 

（1）理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法。

 

（2）理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對角

 

化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。

 

（3）掌握實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。

 

6、二次型

 

考試內(nèi)容

 

二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其矩陣的正定性

 

考試要點(diǎn)

 

（1）了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合

 

同矩陣的概念。

 

（2）了解二次型的秩的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形等概念，了

 

解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

 

（3）理解正定二次型。正定矩陣的概念，并掌握其判別法。