考試大綱

 

要求考生熟悉高等代數(shù)的基本概念、掌握基本定理與方法、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力?？疾榈闹R(shí)要點(diǎn)如下：

 

1．多項(xiàng)式：數(shù)域概念，一元多項(xiàng)式運(yùn)算法則；帶余除法定理，最大公因式概念及求法(輾轉(zhuǎn)相除法)；不可約多項(xiàng)式概念和因式分解唯一性定理；重因式、余數(shù)定理，零點(diǎn)(根)定理；復(fù)/實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理；有理系數(shù)多項(xiàng)式、整系數(shù)多項(xiàng)式和本原多項(xiàng)式的概念、性質(zhì)及相互關(guān)系，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法，Eisenstein判別法；對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理，掌握把對(duì)稱多項(xiàng)式表示成初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的方法，會(huì)計(jì)算一元多項(xiàng)式的判別式。

 

2．行列式：排列及對(duì)換的概念，排列奇偶性的概念及判定；行列式的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法；行列式按一行（列）展開，代數(shù)余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩陣的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區(qū)別；克拉默(Cramer)法則及應(yīng)用。

 

3．線性方程組：線性方程組的高斯(Gauss)消元法；向量空間、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念與性質(zhì)；矩陣的k級(jí)子式，矩陣秩的定義、性質(zhì)及求法，向量組的極大線性無關(guān)組的求法；線性方程組有解的判定、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

 

4．矩陣：矩陣的基本運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆的定義、性質(zhì)及求法；矩陣分塊的概念和分塊矩陣的運(yùn)算，初等矩陣、初等變換與矩陣的秩，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用；矩陣的跡函數(shù)，矩陣的行列式函數(shù)以及廣義行列式函數(shù)的性質(zhì)。

 

5．二次型：二次型的矩陣表示，矩陣的合同關(guān)系，對(duì)稱矩陣的概念和性質(zhì)；用非退化線性變換、正交的線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，實(shí)、復(fù)二次型的規(guī)范型，慣性定理與慣性指數(shù)；正定、半正定二次型的概念、性質(zhì)及判別方法。

 

6．線性空間：集合、映射的定義與運(yùn)算性質(zhì)；線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)；維數(shù)、基與坐標(biāo)的概念和性質(zhì)，基變換與坐標(biāo)變換；線性子空間的概念和性質(zhì)，子空間的交與和的概念及性質(zhì)，子空間的直和的定義及判別準(zhǔn)則；對(duì)偶空間，線性函數(shù)，雙線性函數(shù)，線性空間的同構(gòu)，同構(gòu)映射的概念和性質(zhì)。

 

7．線性變換：線性變換的定義、運(yùn)算及其簡(jiǎn)單性質(zhì)；線性變換的矩陣及其性質(zhì)；矩陣的相似關(guān)系的定義及其性質(zhì)；特征多項(xiàng)式、特征值與特征向量的定義、性質(zhì)及計(jì)算；線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角矩陣的條件（即矩陣相似于對(duì)角矩陣的條件）；線性變換的值域與核的概念及性質(zhì)；不變子空間的概念，不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系；根子空間分解，循環(huán)子空間，對(duì)偶算子；若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的概念及應(yīng)用；最小多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)及求法。

 

8．λ-矩陣：λ-矩陣的定義及其秩、逆和初等變換；λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；行列式因子、不變因子和初等因子的定義、性質(zhì)及求法；矩陣相似的條件；復(fù)矩陣若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算；矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算。

 

9．歐幾里得空間、酉空間：歐幾里得（酉）空間（含內(nèi)積）的定義與基本性質(zhì)；歐幾里得（酉）空間中基的度量矩陣，正交向量組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、基本性質(zhì)及相互關(guān)系，施密特正交化方法；歐幾里得（酉）空間的同構(gòu)；正交（酉）變換、正交（酉）矩陣的定義和性質(zhì)；子空間的正交關(guān)系；對(duì)稱（酉）變換、實(shí)對(duì)稱（Hermit）矩陣的性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)形的求法；伴隨算子，自伴隨算子，Hermit算子，實(shí)（復(fù)）正規(guī)算子在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的標(biāo)準(zhǔn)形。

 

參考書

 

無