湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)術(shù)碩士初試考試科目

 

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

 

考試科目：數(shù)學(xué)分析科目代碼：601

 

一、考試性質(zhì)

 

本考試大綱適用于報(bào)考湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的初試。《數(shù)學(xué)分析》是為招收數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生而設(shè)置的具有選拔功能的水平考試。其目的是科學(xué)、公平、有效地測(cè)試考生是否具有繼續(xù)攻讀碩士學(xué)位所具備的分析基礎(chǔ)知識(shí)、一般能力和培養(yǎng)潛能。應(yīng)考人員應(yīng)根據(jù)本大綱的內(nèi)容和要求，自行組織學(xué)習(xí)內(nèi)容和掌握有關(guān)知識(shí)。

 

二、考試要求

 

要求考生熟悉數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法，具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力和分析運(yùn)算能力，并能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決各種類型的問(wèn)題，以便為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)和從事科研奠定堅(jiān)實(shí)的分析基礎(chǔ)。

 

三、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

 

1、試卷滿分及考試時(shí)間

 

本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

 

2、答題方式

 

答題方式為閉卷、筆試。

 

3、試卷題型

 

選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題、綜合題等。

 

四、考試內(nèi)容和考試要求

 

（一）極限與連續(xù)

 

考試內(nèi)容：確界、函數(shù)；數(shù)列極限；函數(shù)極限；函數(shù)的連續(xù)性；實(shí)數(shù)的完備性。

 

考試要求：理解確界概念、確界原理和函數(shù)概念；掌握確界及函數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算；掌握數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念和基本性質(zhì)；會(huì)用極限的概念驗(yàn)證數(shù)列極限、函數(shù)極限；會(huì)運(yùn)用極限四則運(yùn)算法則、迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）、單調(diào)有界定理、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小等討論極限問(wèn)題；掌握函數(shù)連續(xù)性的概念；會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型；理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)來(lái)證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；掌握函數(shù)在某區(qū)間上是一致連續(xù)或非一致連續(xù)的方法，會(huì)驗(yàn)證簡(jiǎn)單函數(shù)的一致連續(xù)性；理解實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)基本定理和基本定理等價(jià)性的證明的方法，會(huì)利用實(shí)數(shù)完備性的基本定理證明有關(guān)命題。

 

（二）一元函數(shù)微分學(xué)

 

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)；微分；微分中值定理；微分中值定理的應(yīng)用。

 

考試要求：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；掌握函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；掌握隱函數(shù)、由參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)方法；會(huì)熟練計(jì)算各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，能夠計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；理解微分的概念，掌握導(dǎo)數(shù)與微分間的關(guān)系；了解函數(shù)一階微分形式的不變性，會(huì)熟練求函數(shù)的微分；熟練掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，會(huì)應(yīng)用中值定理證明不等式等；熟練掌握洛必達(dá)法則，會(huì)用洛必達(dá)法則求不定式極限；理解泰勒定理，了解帶佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式、麥克勞林公式，熟記六個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林公式，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的展開；熟練掌握函數(shù)單調(diào)性、極值和凹凸性的判別方法，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和凹凸區(qū)間，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)和漸近線。

 

（三）一元函數(shù)積分學(xué)

 

考試內(nèi)容：不定積分；定積分；定積分的應(yīng)用；反常積分。

 

考試要求：理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運(yùn)算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式；熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法；掌握有理函數(shù)的不定積分、三角函數(shù)有理式的不定積分、某些無(wú)理根式的不定積分；能夠熟練計(jì)算不定積分；掌握定積分的概念、幾何意義；熟練掌握和應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式；掌握定積分的基本性質(zhì)和積分第一中值定理，會(huì)應(yīng)用其證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；理解可積函數(shù)類及其證明；了解變限積分的概念，會(huì)求變限積分的導(dǎo)數(shù)；掌握定積分的換元積分法及分部積分法，能夠熟練計(jì)算定積分；能夠應(yīng)用定積分的幾何意義或者利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算定積分；了解定積分的微元法；會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積（包括參量方程及極坐標(biāo)方程概念的平面圖形）、平面曲線的弧長(zhǎng)（直角坐標(biāo)系、參數(shù)方程、極坐標(biāo)系）、平行截面面積已知的立體和旋轉(zhuǎn)體的體積；理解兩類反常積分的收斂與發(fā)散；熟練掌握反常積分絕對(duì)收斂和條件收斂的判定方法，會(huì)判別反常積分的斂散性。

 

（四）多元函數(shù)微分學(xué)

 

考試內(nèi)容：二元函數(shù)的極限和連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、全微分；隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)求導(dǎo)法；多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線、方向?qū)?shù)和梯度）；多元函數(shù)的極值與最值。

 

考試要求：了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的概念域；了解二元函數(shù)極限的概念，熟悉判別極限存在性的基本方法，會(huì)求簡(jiǎn)單二元函數(shù)的極限，會(huì)判斷二元函數(shù)極限不存在；理解二元函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)判斷二元函數(shù)的連續(xù)性；熟練掌握二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、可微性與全微分的概念；了解可微的必要與充分條件，掌握多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微之間的關(guān)系；熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，會(huì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)和全微分；熟練掌握二元函數(shù)極值和最值的求解，會(huì)求函數(shù)的極值和最值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；了解隱函數(shù)存在唯一性定理和隱函數(shù)組定理；熟練掌握求隱函數(shù)（組）偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的方法，會(huì)求隱函數(shù)（組）偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)；掌握多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線、方向?qū)?shù)與梯度），會(huì)求空間曲線的切線與法平面方程、空間曲面的切平面與法線方程、方向?qū)?shù)與梯度。

 

（五）多元函數(shù)積分學(xué)

 

考試內(nèi)容：二重積分；三重積分；第一（二）型曲線積分；曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件；第一（二）型曲面積分；高斯公式和斯托克斯公式；含參變量正常積分、含參變量反常積分。

 

考試要求：掌握二、三重積分的計(jì)算方法，會(huì)熟練計(jì)算二、三重積分；掌握格林公式以及曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)用格林公式以及曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件計(jì)算曲線積分；理解兩類曲線積分的概念；掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法，會(huì)熟練計(jì)算兩類曲線積分；理解兩類曲面積分的概念；掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，會(huì)熟練計(jì)算兩類曲面積分；熟練掌握高斯公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；理解斯托克斯公式；理解含參變量正常積分的概念與性質(zhì)；掌握含參變量正常積分的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式；掌握含參變量反常積分一致收斂的判別方法，會(huì)證明含參變量反常積分的一致收斂性。

 

（六）無(wú)窮級(jí)數(shù)

 

考試內(nèi)容：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；冪級(jí)數(shù)；傅里葉級(jí)數(shù)。

 

考試要求：了解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的概念和基本性質(zhì)，掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件；熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法（比較判別法，比值判別法，根植判別法與積分判別法），會(huì)準(zhǔn)確判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性；掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系，會(huì)判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂；熟練掌握用概念及判別法判斷函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，并會(huì)進(jìn)行驗(yàn)證；掌握阿貝爾定理，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域；了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)；掌握一些基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開為冪級(jí)數(shù)；了解傅里葉級(jí)數(shù)概念和收斂定理；能夠?qū)⒈容^簡(jiǎn)單的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。

 

五、參考書目

 

《數(shù)學(xué)分析》（第五版）：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編，高等教育出版社，2019年