碩士研究生招生考試

 

綜合考試（數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何）科目大綱

 

(科目代碼：917)

 

學(xué)院名稱(蓋章)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院

 

學(xué)院負(fù)責(zé)人(簽字)：

 

編制時間：2022年6月22日

 

統(tǒng)計學(xué)綜合考試（數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何）科目大綱

 

(科目代碼：917)

 

本門考試包含三門課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何，總分為100分，每門課程約占總分值的三分之一。

 

《數(shù)學(xué)分析》

 

一、考核要求

 

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)分析學(xué)系列課程及數(shù)學(xué)專業(yè)其它后繼課程的重要基礎(chǔ)，也為高觀點下深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所必需。數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容有：極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)及級數(shù)理論。數(shù)學(xué)分析中的極限思想十分重要，它幾乎貫穿了數(shù)學(xué)分析及其它與分析相關(guān)的自然學(xué)科的始終。數(shù)學(xué)分析課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學(xué)生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，考核學(xué)生是否具有嚴(yán)密的邏輯推理能力，考核學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決某些實際問題的能力。

 

二、考核內(nèi)容

 

第一章極限

 

第一節(jié)實數(shù)集與函數(shù)

 

考核不等式、集合、映射、函數(shù)、初等函數(shù)、領(lǐng)域、上確界、下確界的定義，會進行集合運算和函數(shù)的各種表示，能分析函數(shù)的有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性，熟悉確界原理。

 

第二節(jié)數(shù)列極限

 

考核數(shù)列、數(shù)列極限的定義、無窮小數(shù)列，收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限的四則運算，單調(diào)數(shù)列及單調(diào)有界定理，Cauchy列及收斂準(zhǔn)則。

 

第三節(jié)函數(shù)極限

 

考核函數(shù)極限的定義、性質(zhì)、四則運算、與數(shù)列極限的關(guān)系，單側(cè)極限、Cauchy收斂原理，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量及關(guān)系。

 

第四節(jié)連續(xù)函數(shù)

 

充分理解并掌握函數(shù)極限的定義、連續(xù)的定義、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系、Cauchy收斂原理、一致連續(xù)的概念；能應(yīng)用函數(shù)極限、連續(xù)以及一致連續(xù)的定義進行分析、論證，能用無窮小量對極限進行分析，區(qū)別無窮小量能否進行代換的條件，區(qū)分不連續(xù)點的類型。

 

第五節(jié)實數(shù)基本定理

 

能綜合應(yīng)用確界原理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理進行分析論證，應(yīng)用收斂子列定理和Cauchy收斂定理進行基本證明。

 

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

 

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)和微分

 

會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義、四則運算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)，能綜合應(yīng)用各種方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

 

第二節(jié)微分中值定理及應(yīng)用

 

領(lǐng)會微分中值定理、Taylor公式的深刻含義，能用微分中值定理進行分析、論證，能將函數(shù)展開成Taylor多項式和其余項之和，能綜合使用Hospital法則及Taylor公式求函數(shù)及數(shù)列的極限。能綜合應(yīng)用函數(shù)的凸性、單調(diào)性（利用導(dǎo)數(shù)）及中值定理分析和解決問題。

 

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

 

第一節(jié)積分的計算、性質(zhì)及應(yīng)用

 

能綜合應(yīng)用各種方法（包括定義、基本公式、線性性質(zhì)、換元積分法、分部積分法），計算出一般函數(shù)的積分；重點掌握定積分的概念，Darboux和概念等；熟練掌握可積的充要條件，可積函數(shù)類，定積分的性質(zhì)，微積分基本定理，掌握求面積、弧長、體積和側(cè)面積的方法，了解微元法及其應(yīng)用。

 

第二節(jié)反常積分

 

掌握反常積分?jǐn)可⑿缘亩x，奇點，了解Cauchy主值和反常積分收斂的關(guān)系，掌握一些重要的反常積分收斂和發(fā)散的例子，理解并掌握絕對收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負(fù)函數(shù)反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數(shù)反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分，熟練應(yīng)用積分第二中值定理。

 

第四章級數(shù)

 

第一節(jié)數(shù)項級數(shù)

 

準(zhǔn)確理解斂散性概念、級數(shù)收斂的必要條件和其它性質(zhì)，熟練地求一些級數(shù)的和；了解上極限與下極限的概念、性質(zhì)、求上極限與下極限的方法；熟練利用正項級數(shù)的收斂原理，比較判別法，比式判別法和根式判別法，積分判別法判別正項級數(shù)的斂散性；準(zhǔn)確理解Leibniz級數(shù)，熟練利用Leibniz級數(shù)，Abel、Dirichlet判別法判別一般級數(shù)的斂散性。

 

第二節(jié)函數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)

 

重點理解點態(tài)收斂、一致收斂和內(nèi)閉一致收斂的概念，掌握函數(shù)列一致收斂的判別法；能熟練應(yīng)用函數(shù)項級數(shù)的Cauchy收斂原理，Weierstrass判別法，Abel、Dirichlet判別法，掌握一致收斂級數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可積性；重點掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法，可以利用冪級數(shù)可導(dǎo)和可積性求冪級數(shù)的和，掌握函數(shù)冪級數(shù)展開的條件，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。

 

第三節(jié)傅里葉級數(shù)

 

熟練掌握函數(shù)的Fourier級數(shù)展開；綜合分析Fourier級數(shù)的斂散性；理解并合理利用Fourier級數(shù)的分析性質(zhì)和逼近性質(zhì)；了解Fourier變換的性質(zhì)及其在理論分析和實際計算中的應(yīng)用。

 

第五章多元函數(shù)微分學(xué)

 

第一節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)

 

考核R2中的有界集，內(nèi)點，邊界點，孤立點，聚點，開集和閉集及其關(guān)系，閉包，理解閉矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收斂定理，緊集及其Heine-Borel定理；掌握多元函數(shù)的定義，多元函數(shù)的重極限和二次極限及其關(guān)系，多元函數(shù)的連續(xù)，了解向量值函數(shù)及其極限、連續(xù)等性質(zhì)；了解緊集上的連續(xù)映射概念，緊集上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值定理、一致連續(xù)性定理、中間值定理，掌握連通集和區(qū)域等概念。

 

第二節(jié)多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用

 

重點掌握偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)，全微分，連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，掌握混合偏導(dǎo)數(shù)的相等的條件，向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒捌鋺?yīng)用，掌握一階全微分的形式不變性。

 

第三節(jié)隱函數(shù)定理及應(yīng)用

 

考核隱函數(shù)定理及其應(yīng)用，會計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握無條件極值與條件極值的求法。

 

第六章多元函數(shù)積分學(xué)

 

第一節(jié)重積分

 

理解重積分與反常重積分的概念；了解二重積分的可積函數(shù)類與性質(zhì)；熟練掌握二重積分、n重積分及反常重積分的算法；掌握二重積分與n重積分的變量代換。

 

第二節(jié)曲線積分和曲面積分

 

綜合分析第一、二類曲線積分與曲面積分的概念與計算；掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式及其應(yīng)用；掌握梯度的概念，了解通量與散度、向量線、環(huán)量與旋度的概念及簡單應(yīng)用。

 

第三節(jié)含參變量積分

 

熟練掌握含參變量的正常積分的定義及分析性質(zhì)；熟練掌握含參變量的反常積分的一致收斂的判別法及一致收斂積分的分析性質(zhì)；了解Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的性質(zhì)、遞推公式及二者之間的關(guān)系。

 

參考書目：

 

1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《數(shù)學(xué)分析》（上，下），高等教育出版社，2010年（第四版））。

 

2.陳紀(jì)修，於崇華，金路，《數(shù)學(xué)分析》（上，下），高等教育出版社，2000年（第一版）。

 

3.裴禮文，《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2006年（第二版）。

 

4.劉三陽，于力，李廣民，《數(shù)學(xué)分析選講》，科學(xué)出版社，2007年（第一版）。

 

《高等代數(shù)》

 

一、考核要求

 

高等代數(shù)是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高，是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，對數(shù)學(xué)專業(yè)后繼課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，它的思想和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域。高等代數(shù)的全部內(nèi)容分兩大部分，多項式理論和線性代數(shù)理論。其中線性代數(shù)理論顯得十分重要，不僅在自然科學(xué)的各分支有著重要應(yīng)用，而且在社會科學(xué)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。高等代數(shù)課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學(xué)生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，考核學(xué)生是否具有嚴(yán)密的邏輯推理能力，考核學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決某些實際問題的能力。

 

二、考核內(nèi)容

 

第一章基本概念

 

第一節(jié)集合與映射

 

主要考核單射、滿射、雙射及的概念及可逆映射的基本性質(zhì)。

 

第二節(jié)數(shù)學(xué)歸納法

 

主要考核第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法原理。

 

第三節(jié)整數(shù)的整除性質(zhì)

 

主要考核帶余除法、素數(shù)、合數(shù)、最大公因數(shù)等概念及性質(zhì)。

 

第四節(jié)數(shù)環(huán)與數(shù)域

 

主要考核數(shù)環(huán)、數(shù)域這兩個基本概念及二者之間的關(guān)系

 

第二章多項式

 

第一節(jié)一元多項式的定義及運算

 

考核多項式的加法、減法與乘法運算，給出多項式次數(shù)的定義，零次多項式與零多項式。

 

第二節(jié)多項式的整除性

 

考核帶余除法定理，它是多項式理論的核心內(nèi)容。

 

第三節(jié)最大公因式

 

考核最大公因式的概念、求法，特別是輾轉(zhuǎn)相除法，另外考核多項式互素的概念和判斷互素的充分必要條件。

 

第四節(jié)多項式的分解

 

考核多項式因式分解的思想。

 

第五節(jié)重因式

 

考核多項式重因式的概念、有無重因式的充分必要條件。

 

第六節(jié)多項式函數(shù)多項式的根

 

考核多項式的函數(shù)的觀點與形式觀點統(tǒng)一的思想。

 

第七節(jié)復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的多項式

 

考核系數(shù)在復(fù)數(shù)域上和系數(shù)在實數(shù)域上的多項式的特點，考核復(fù)系數(shù)多項式只有一次的是不可約的，而實系數(shù)多項式只有一次的和某些二次的是不可約的。

 

第八節(jié)有理系數(shù)多項式

 

考核有理系數(shù)多項式的概念，指出有理系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的分解與在整數(shù)集合上的分解是一回事，給出有理系數(shù)多項式根的求法和判別有理根的艾森斯坦因方法。

 

第三章行列式

 

第一節(jié)線性方程組與行列式

 

考核2×2線性方程組與二階行列式的關(guān)系，3×3線性方程組與三階行列式的關(guān)系，n×n線性方程組與n階行列式是什么關(guān)系。

 

第二節(jié)排列

 

考核排列概念及基本性質(zhì)，其中包括偶排列、奇排列、反序數(shù)、n!個排列中奇排列、偶排列各占一半。

 

第三節(jié)n階行列式

 

考核n階行列式的定義，性質(zhì)。

 

第四節(jié)子式和代數(shù)余子式

 

考核按行按列展開的計算方法。

 

第五節(jié)克拉默規(guī)則

 

考核克拉默規(guī)則，

 

第四章線性方程組

 

第一節(jié)線性方程組的消元解法

 

考核線性方程組的高斯消元法、線性方程線的同解變形、線性方程組的消元法與它的增廣矩陣行初等變換的一致性。

 

第二節(jié)矩陣的秩、方程組有解判別定理

 

考核矩陣的秩、初等變換不改變矩陣的秩、線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等。

 

第三節(jié)線性方程組的公式解

 

考核n×n線性方程組的系數(shù)行列式為零時，如何用克拉默規(guī)則解該方程組，進一步討論一般的n×m(n≠m)線性方程組的公式解法。

 

第四節(jié)結(jié)式和判別式

 

考核二元二次方程組的解法。

 

第五章矩陣

 

第一節(jié)矩陣的運算

 

考核矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣的乘法。

 

第二節(jié)可逆矩陣、矩陣乘積的行列式

 

考核n階矩陣的逆矩陣、n階矩陣的行列式、矩陣乘積的行列式與各自行列式的關(guān)系、n階方陣可逆時逆矩陣的求法。

 

第三節(jié)矩陣的分塊

 

考核矩陣的分塊理論，也就是把矩陣中一部分元素看作一個塊（或一個元素）來處理矩陣的有關(guān)問題。

 

第六章向量空間

 

第一節(jié)定義及例子

 

考核向量空間的定義的理解。

 

第二節(jié)子空間

 

考核向量空間的子空間、交子空間，和子空間及子空間的判定定理。

 

第三節(jié)向量的線性相關(guān)性

 

考核向量的線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組、向量組的等價、向量組的秩。

 

第四節(jié)基和維數(shù)

 

考核向量空間的基、維數(shù)、向量空間的維數(shù)公式、余子空間。

 

第五節(jié)坐標(biāo)

 

考核向量由基的表示式、坐標(biāo)、過渡矩陣、坐標(biāo)變換公式。

 

第六節(jié)向量空間的同構(gòu)

 

考核向量空間之間的映射、向量空間的同構(gòu)。

 

第七節(jié)齊次線性方程組的解空間

 

考核矩陣的行空間、列空間、行空間的秩與矩陣的秩、齊次線性方程的解空間、基礎(chǔ)解系、解空間的結(jié)構(gòu)。

 

第七章線性變換

 

第一節(jié)線性映射

 

考核兩個向量空間的線性映射、映射的象與核。

 

第二節(jié)線性變換的運算

 

考核向量空間到自身的線性變換、線性變換的和變換、數(shù)乘線性變換、線性變換的乘積、線性變換的逆線性變換。

 

第三節(jié)線性變換的矩陣

 

考核線性變換在一個基下的矩陣、矩陣確定的線性變換、線性變換的運算與相應(yīng)的矩陣運算、同一個線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系。

 

第四節(jié)不變子空間

 

考核線性變換下子空間的不變性、象不變子空間、核不變子空間、不變子空間與線性變換的對角化。

 

第五節(jié)本征值與本征向量

 

考核矩陣的特征值、特征向量、線性變換的本征值與本征向量、特征子空間。

 

第六節(jié)可以對角化的矩陣

 

考核一個線性變換可以對角化的充分必要條件。

 

第八章歐氏空間

 

第一節(jié)向量的內(nèi)積

 

考核實數(shù)域上向量空間的內(nèi)積、歐氏空間、向量的長度、夾角、哥西一許瓦茲不等式。

 

第二節(jié)正交基

 

考核向量的正交性、正交向量組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基、度量矩陣、施密特正交化方法、正交矩陣。

 

第三節(jié)正交變換

 

考核保持向量長度不變的正交變換、正交矩陣的性質(zhì)、正交變換的四個等價條件。

 

第四節(jié)對稱變換和對稱矩陣

 

考核對稱變換、對稱矩陣、對稱變換的對角化問題、實對稱矩陣的特征值問題。

 

第九章二次型

 

第一節(jié)二次型和對稱矩陣

 

考核n元二次多項式總可以用一個對稱矩陣來表示，從而通過矩陣的乘法轉(zhuǎn)化了二次型的表達形式，這樣把一個二次型（既一個多項式的問題）用對稱矩陣及矩陣的合同變換（成對的行、列初等變換）來處理。從而使問題簡單明了。

 

第二節(jié)復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型

 

考核復(fù)系數(shù)二次型與實系數(shù)二次型的典范形式。

 

第三節(jié)正定二次型

 

考核了實數(shù)域上秩為n的二次型的特征。

 

第四節(jié)主軸問題

 

考核通過正交變換化二次型為平方和形式的方法。

 

參考書目：

 

[1]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù).北京:高等教育出版社,2007年第5版.

 

[2]王萼芳,石生明.高等代數(shù).北京:高等教育出版社,2003年第3版.

 

[3]劉仲奎,楊永保,程輝,陳祥恩,汪小琳.高等代數(shù).北京:高等教育出版社,2003年.

 

[4]陳祥恩,程輝,喬虎生，劉仲奎.高等代數(shù)專題選講.北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社,2013年.

 

《解析幾何》考試大綱

 

一、考核要求

 

解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何。掌握解析幾何的思想，基本理論和研究方法，考核培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、建立數(shù)學(xué)模型的能力、推理與演算的能力。

 

二、考核內(nèi)容

 

第一章向量與坐標(biāo)

 

1·1向量的概念、向量的線性運算、向量的線性關(guān)系和向量分解

 

1·2坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)

 

1·3向量在給定方向上的射影

 

1·4向量的內(nèi)積

 

1·5向量的外積

 

1·6三向量的混合積

 

考核要點：向量的概念與運算、坐標(biāo)與坐標(biāo)系、用坐標(biāo)進行向量的運算、向量共線或共面的必要條件。熟練掌握和運用向量的基本知識，解決關(guān)于共線、共面、定比分點等仿射性質(zhì)的問題；解決關(guān)于長度、夾角、面積、體積等度量問題。

 

第二章軌跡與方程

 

2·1平面曲線的方程

 

2·2曲面的方程

 

2·3母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程

 

2·4空間曲線的方程

 

考核要點：建立動點軌跡的方程是解析幾何的基本思想。學(xué)生應(yīng)當(dāng)深刻理解軌跡與其方程之間的關(guān)系，能熟練地掌握建立曲面或曲線的方程的方法以及直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的相互轉(zhuǎn)化。

 

第三章平面與空間直線

 

3·1平面的方程

 

3·2平面與點的相關(guān)位置

 

3·3兩平面的相關(guān)位置

 

3·4空間直線的方程

 

3·5直線與平面的相關(guān)位置

 

3·6空間兩直線的相關(guān)位置、

 

3·7空間直線與點的相關(guān)位置

 

3·8平面束

 

考核要點：平面與空間直線的各種形式的方程，平面與平面、平面與點、平面與直線、直線與點、直線與直線之間的相關(guān)位置。

 

第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)面與二次曲面

 

4·1柱面

 

4·2錐面

 

4·3旋轉(zhuǎn)曲面

 

4·4橢球面

 

4·5雙曲面

 

4·6拋物面

 

4·7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。

 

考核要點：柱面方程、錐面方程、旋轉(zhuǎn)面方程的建立方法、齊次方程、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程、橢球面、雙曲面、拋物面的方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線族方程。

 

第五章二次曲面的一般理論

 

5·1二次曲面與直線的相關(guān)位置

 

5·2二次曲面的漸近方向與中心

 

5·3二次曲面的切線與切平面

 

5·4二次曲面的徑面與奇向

 

5·5二次曲面的主徑面與主方向、特征方程與特征根

 

5·6二次曲面方程的化簡與分類

 

5·7應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方程

 

考核要點：二次曲面的漸近方向與非漸近方向、中心、切線、切平面、奇點、徑面、奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根、二次曲面方程的化簡與分類、直角坐標(biāo)變換、應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方程。

 

三、參考書目

 

[1]呂林根、許子道.解析幾何.北京：高等教育出版社，2001年第3版.

 

[2]南開大學(xué)主編.空間解析幾何.北京：高等教育出版社，2002年.

 

[3]呂林根、許子道.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書.北京：高等教育出版社，2006年.

 

[4]劉建成、賀群.空間解析幾何.北京：科學(xué)出版社，2018年.