碩士研究生招生考試
綜合考試（近世代數(shù)、泛函分析、常微分方程、解析幾何）科目大綱
(科目代碼：945)
學(xué)院名稱(蓋章)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
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編制時(shí)間：2022年6月22日
數(shù)學(xué)綜合考試（近世代數(shù)、泛函分析、常微分方程、解析幾何）科目大綱
(科目代碼：945)
本門考試包含四門課程：近世代數(shù)、泛函分析、常微分方程、解析幾何，總分為100分，其中近世代數(shù)和泛函分析分別占20分到25分，解析幾何及常微分方程分別占25到30分。
近世代數(shù)
第一章基本概念
考試要點(diǎn)：
掌握一些基本概念：代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律、交換律、分配律、同態(tài)與同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系與集合分類的定義；理解結(jié)合律、交換律、分配律的作用以及同態(tài)滿射保持結(jié)合律、交換律、分配律這些數(shù)學(xué)事實(shí)；熟練應(yīng)用等價(jià)關(guān)系與集合分類可以相互決定這一結(jié)論。
考試內(nèi)容：
第一節(jié)代數(shù)運(yùn)算與算律
主要講授代數(shù)運(yùn)算的定義及例子，結(jié)合律及其性質(zhì)，交換律及其性質(zhì)，分配律及其性質(zhì)等。
第二節(jié)同態(tài)與同構(gòu)
主要介紹兩個(gè)帶有代數(shù)運(yùn)算的集合之間的保持代數(shù)運(yùn)算的映射、滿射及雙射以及它們各自的性質(zhì)。
第三節(jié)等價(jià)關(guān)系與集合分類
主要介紹等價(jià)關(guān)系與集合分類這兩個(gè)概念以及等價(jià)關(guān)系與集合分類這二者之間的關(guān)系。
考核要求：
要讓學(xué)生識(shí)記代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律、交換律、分配律、同態(tài)與同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系與集合分類的定義；領(lǐng)會(huì)結(jié)合律、交換律、分配律的作用；領(lǐng)會(huì)同態(tài)滿射保持結(jié)合律、交換律、分配律，等價(jià)關(guān)系與集合分類可以相互決定這些數(shù)學(xué)事實(shí)。
第二章群論
考試要點(diǎn)：
掌握有關(guān)群的一些基本概念：群、變換群、置換群、循環(huán)群、子群、陪集、不變子群、商群；判斷群、子群、不變子群、商群的方法；理解群論的一些重要結(jié)論：Cayley定理、Lagrange定理、群的同態(tài)基本定理。
考試內(nèi)容：
第一節(jié)群的定義與基本性質(zhì)
介紹群的兩種定義的等價(jià)性。對(duì)有限群給出第三種定義。介紹群的消去律、以及群中的元的階的性質(zhì)。介紹群的同態(tài)。
第二節(jié)變換群
介紹變換的概念；給出變換群的定義；介紹一個(gè)集合的最大變換群、最小變換群；介紹Cayley定理。
第三節(jié)置換群
介紹n次對(duì)稱群Sn的概念；介紹Sn中的每個(gè)置換都可以表成互相沒有共同數(shù)字的循環(huán)置換的乘積這一重要結(jié)論。
第四節(jié)循環(huán)群
介紹循環(huán)群及其生成元的概念；介紹與循環(huán)群的存在問題、數(shù)量問題、結(jié)構(gòu)問題有關(guān)的結(jié)論。
第五節(jié)子群
介紹子群的定義以及判斷方法、群的子集生成的子群的特點(diǎn)。
第六節(jié)子群的陪集
定義左同余關(guān)系以及右同余關(guān)系；確定這兩個(gè)同余關(guān)系的等價(jià)類，得出一個(gè)群G的子群H在G中的左、右陪集的數(shù)目相等這一重要結(jié)論。介紹Lagrange定理。
第七節(jié)不變子群、商群
介紹不變子群的定義，給出判斷一個(gè)子群是不變子群的方法。介紹商群。
第八節(jié)同態(tài)與不變子群
介紹子群、不變子群與群的同態(tài)之間的關(guān)系。
考核要求：
學(xué)生必須識(shí)記并領(lǐng)會(huì)有關(guān)群的一些基本概念；會(huì)利用所學(xué)知識(shí)判斷群、子群、不變子群、商群；學(xué)生必須有嚴(yán)格的思維能力以及邏輯推理能力；可以綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決簡單群論問題,例如較小階群的分類問題等。
第三章環(huán)與域
考試要點(diǎn)：
掌握有關(guān)環(huán)與域的一些基本概念：環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、無零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域、子環(huán)、子除環(huán)、子整環(huán)、子域、環(huán)的同態(tài)、理想、零理想、單位理想、主理想、環(huán)中多個(gè)元生成的理想、剩余類環(huán)、極大理想；理解環(huán)論的一些重要結(jié)論：不定元存在定理、環(huán)的同態(tài)基本定理、剩余類環(huán)是域的充要條件等。
考試內(nèi)容：
第一節(jié)定義與基本性質(zhì)
介紹加群、環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、無零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域等基本概念；無零因子環(huán)中環(huán)的消去律才成立；介紹無零因子環(huán)的特征的概念；介紹無零因子環(huán)的特征是有限數(shù)時(shí)，特征是素?cái)?shù)這一結(jié)論。
第二節(jié)子環(huán)、環(huán)的同態(tài)
介紹子環(huán)、子除環(huán)、子整環(huán)、子域、環(huán)的同態(tài)等概念；探討與環(huán)的同態(tài)有關(guān)的環(huán)的性質(zhì)；介紹挖補(bǔ)定理。
第三節(jié)多項(xiàng)式環(huán)
介紹含單位元的交換環(huán)R上的多項(xiàng)式、R上的多項(xiàng)式環(huán)以及R上的未定元等概念；給出R上的未定元是存在的這一重要結(jié)論。
第四節(jié)理想
介紹環(huán)的理想、零理想、單位理想、主理想、環(huán)中多個(gè)元生成的理想等概念；介紹環(huán)的主理想中的元素的特點(diǎn)；給出除環(huán)只有零理想和單位理想這一重要結(jié)論。
第五節(jié)剩余類環(huán)、同態(tài)與理想
類比于群論中的商群，在環(huán)論中有商環(huán)（也叫剩余類環(huán)）。給出商環(huán)的概念之后，介紹環(huán)的同態(tài)基本定理；介紹子環(huán)、理想與環(huán)的同態(tài)之間的關(guān)系。
第六節(jié)極大理想
給出極大理想的定義；介紹判斷一個(gè)理想是極大理想的方法，探討如何利用極大理想去構(gòu)造域。
第七節(jié)商域
類比于整數(shù)環(huán)與有理數(shù)域之間的關(guān)系，介紹一個(gè)環(huán)的商域的概念，并給出一個(gè)無零因子的交換環(huán)的商域的存在性與唯一性定理。
考核要求：
學(xué)生必須識(shí)記并領(lǐng)會(huì)有關(guān)環(huán)的若干基本概念；會(huì)利用所學(xué)知識(shí)判斷環(huán)、子環(huán)、子除環(huán)、理想、極大理想、商環(huán)等；可以綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決簡單環(huán)論問題。
第四章整環(huán)里的因子分解
考試要點(diǎn)：
掌握一些基本概念：不可約元、唯一分解、主理想環(huán)、歐氏環(huán)；理解關(guān)于整環(huán)里的因子分解的一些重要結(jié)論：一個(gè)整環(huán)是唯一分解環(huán)的充要條件；主理想環(huán)是唯一分解環(huán)、歐氏環(huán)是唯一分解環(huán)等。
考試內(nèi)容：
第一節(jié)不可約元、唯一分解
給出整環(huán)中元素整除的定義；介紹平凡因子、不可約元、唯一分解、唯一分解環(huán)等概念；舉例說明，存在不是唯一分解環(huán)的整環(huán)。
第二節(jié)唯一分解環(huán)
介紹一個(gè)整環(huán)是唯一分解環(huán)的充要條件；介紹唯一分解環(huán)中與最大公因子的存在問題、數(shù)量問題有關(guān)的結(jié)論。
第三節(jié)主理想環(huán)
介紹主理想環(huán)，并給出主理想環(huán)是唯一分解環(huán)這一重要結(jié)論。
第四節(jié)歐氏環(huán)
介紹歐氏環(huán)，并給出歐氏環(huán)是唯一分解環(huán)這一重要結(jié)論。
考核要求：
學(xué)生必須識(shí)記并領(lǐng)會(huì)有關(guān)整環(huán)里的因子分解的若干基本概念；會(huì)利用所學(xué)知識(shí)判斷較簡單的整環(huán)是否為唯一分解環(huán)；可以綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決一些簡單的關(guān)于整環(huán)的因子分解的問題。
1、張禾瑞，《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，高等教育出版社，1978年5月修訂第1版。
2、吳品三，《近世代數(shù)》，高等教育出版社，1979年12月第1版。
3、劉紹學(xué)，《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，高等教育出版社，1999年10月第1版。
4、楊永保，《近世代數(shù)》，西北師范大學(xué)油印本，2000
常微分方程
第一章初等積分法
考試要點(diǎn)
準(zhǔn)確理解微分方程的一些最基本的概念；按如下兩條主線掌握一階方程的初等積分法：變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程，全微分方程和通過積分因子法或分項(xiàng)組合法可化為全微分方程的方程；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法。
考試內(nèi)容
第一節(jié)微分方程與解
基本概念：微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）、定解問題，通過單擺方程和人口模型等介紹微分方程的背景和建立微分方程求解應(yīng)用問題的基本方法。
第二節(jié)變量可分離方程
第三節(jié)變量分離法
第四節(jié)齊次方程
齊次方程和一些齊次方程的變形的解法。
第五節(jié)一階線性方程
一階線性方程的解法—常數(shù)變易法與Bernoulli方程的解法；通過解的一般表達(dá)式討論解的性質(zhì)。
第六節(jié)全微分方程及積分因子
全微分方程的解法和積分因子法、分項(xiàng)組合法
第七節(jié)線素場(chǎng)歐拉折線
一階微分方程的幾何解釋和歐拉折線法。
第八節(jié)一階隱式微分方程
一階隱式微分方程的微分消參法，特別是Clairaut方程的解法、奇解與包絡(luò)。
第九節(jié)一階微分方程應(yīng)用舉例
簡介
第十節(jié)幾種可降階的高階方程
幾種可降階的高階微分方程的解法
考核要求
掌握微分方程的基本概念--微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）等；掌握變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程、全微分方程和通過積分因子法或分項(xiàng)組合法可化為全微分方程的一階微分方程的解法；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法；能夠通過解的一般表達(dá)式討論解的性質(zhì)，理解和應(yīng)用奇解概念；通過建立微分方程求解一些應(yīng)用問題。
第二章基本定理
考試要點(diǎn)
解的存在唯一性定理、延拓定理、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性定理以及所涉及概念的準(zhǔn)確理解，解的存在唯一性定理的詳細(xì)證明。
考試內(nèi)容
第一節(jié)解的存在性與唯一性定理
解的存在唯一性定理；依據(jù)具體例子對(duì)定理的條件做詳細(xì)說明。
第二節(jié)解的延展
解的延展定理，示例說明該定理的條件；介紹第一比較定理。
第三節(jié)解對(duì)初值的連續(xù)依賴性
理解并證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理。
第四節(jié)解對(duì)初值的可微性
理解并證明解對(duì)初值的可微性定理。
考核要求
重點(diǎn)掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的內(nèi)容以及解的存在唯一性定理的證明思想；熟練掌握Picard逼近列、Lipschits條件和延拓概念。
第三章線性微分方程
考試要點(diǎn)
準(zhǔn)確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握Liouville公式、常數(shù)變易法和常系數(shù)線性微分方程的特征根法、比較系數(shù)法、Laplace變換；理解振動(dòng)現(xiàn)象。
考試內(nèi)容
第一節(jié)線性方程的一般性質(zhì)
線性微分方程的解的存在唯一性定理及線性微分算子的性質(zhì)。
第二節(jié)n階線性齊次微分方程
建立齊次線性微分方程的一般理論，得到通解結(jié)構(gòu)定理，證明Liouville公式并應(yīng)用到2階微分方程。
第三節(jié)n階線性非齊次方程
n階線性非齊次方程的通解結(jié)構(gòu)定理與常數(shù)變易法。
第四節(jié)n階常系數(shù)線性齊次微分方程解法
用特征根法解常系數(shù)線性齊次微分方程的基本步驟、理論證明、典型示例。
第五節(jié)n階常系數(shù)線性非齊次微分方程解法
比較系數(shù)法的建立、理論證明、典型示例。
第六節(jié)Laplace變換
介紹Laplace變換以及如何應(yīng)用Laplace變換求解一些常系數(shù)線性非齊次微分方程的Cauchy問題。
第七節(jié)2階常系數(shù)線性方程與振動(dòng)現(xiàn)象
依據(jù)線性微分方程的解的表示解釋振動(dòng)現(xiàn)象。
考核要求
準(zhǔn)確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握Liouville公式、常數(shù)變易法、特征根法、比較系數(shù)法和Laplace變換；能夠依據(jù)解的一般表示討論解的一些屬性。
第四章線性微分方程組
考試要點(diǎn)
準(zhǔn)確理解線性微分方程組的一般理論；能夠熟練掌握Liouville公式、常數(shù)變易法、常系數(shù)線性微分方程的特征根法和簡單的非齊次方程的解法。
考試內(nèi)容
第一節(jié)一階微分方程組
一階微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
第二節(jié)線性微分方程組的一般概念
一階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
第三節(jié)線性齊次微分方程組的一般理論
掌握線性齊次微分方程組的一般理論，得到通解結(jié)構(gòu)定理，證明Liouville公式。
第四節(jié)線性非齊次微分方程組的一般理論
線性非齊次微分方程組的一般理論和常數(shù)變易法。
第五節(jié)常系數(shù)線性微分方程組的解法
特征根法—理論證明與方法的熟練應(yīng)用；簡單的非齊次方程的解法。
考核要求
準(zhǔn)確理解線性微分方程組的一般理論；熟練掌握Liouville公式、常數(shù)變易法和特征根法；能夠依據(jù)解的一般表示討論解的一些屬性。
第五章定性與穩(wěn)定性概念
考試要點(diǎn)
二維自治系統(tǒng)初等奇點(diǎn)的分類及其附近的軌線分布；極限環(huán)的定義與示例；穩(wěn)定性概念及其判定定理，分別應(yīng)用穩(wěn)定性概念、線性化系統(tǒng)的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性。
考試內(nèi)容
第一節(jié)相平面作圖單擺
自治系統(tǒng)及其軌線的分類與性質(zhì)。
第二節(jié)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布
二維自治系統(tǒng)初等奇點(diǎn)的分類—結(jié)點(diǎn)、鞍點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心及其附近的軌線分布。
第三節(jié)極限環(huán)舉例
極限環(huán)的定義與示例。
第四節(jié)穩(wěn)定性概念
穩(wěn)定性概念、判定定理和判定方法，著重Liapunov第二方法。
考核要求
重點(diǎn)掌握二維自治系統(tǒng)初等奇點(diǎn)的分類及其附近的軌線分布；理解穩(wěn)定性概念及其判定定理，會(huì)應(yīng)用穩(wěn)定性概念、線性化系統(tǒng)的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性。
1、東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年。
2、葉嚴(yán)謙，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年（第二版）。
3、中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983年（第二版）。
4、國家教育委員會(huì)師范教育司，《普通高度師范學(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)（本科）教育教學(xué)基本要求（試行）》，首都師范大學(xué)出版社，1994。
泛函分析
第一章度量空間與線性賦范空間
考試要點(diǎn)：
度量空間的概念，例子；度量空間中的收斂性與連續(xù)性；稠密性；可分性；Cauchy列與度量空間的完備性；壓縮映像原理及其應(yīng)用；線性賦范空間的概念，例子；Banach空間的概念。
考試內(nèi)容：
第一節(jié)度量空間的概念與例子
距離及度量空間的定義；例子（歐氏空間；連續(xù)函數(shù)空間；數(shù)列空間等）。
第二節(jié)度量空間中的極限、稠密性、可分空間
鄰域的概念；收斂點(diǎn)列；有界集；具體空間中收斂性的意義；稠密性與可分空間的概念；不可分空間的例子。
第三節(jié)連續(xù)映射
映射連續(xù)性的各種定義及其等價(jià)性。
第四節(jié)Cauchy點(diǎn)列與完備度量空間
度量空間中Cauchy點(diǎn)列的概念；完備度量空間的定義；完備度量空間與不完備度量空間的各類例子；度量空間閉子空間的完備性。
第五節(jié)度量空間的完備化
等距同構(gòu)；度量空間的完備化定理；
第六節(jié)壓縮映像原理及其應(yīng)用
壓縮映像的定義；壓縮映像原理；在隱函數(shù)定理及常微分方程中的應(yīng)用。
第七節(jié)線性空間
本節(jié)內(nèi)容為線性空間的基本概念。因?qū)W生已在高等代數(shù)課程中學(xué)過有限維空間的有關(guān)內(nèi)容，故只需簡要回顧并強(qiáng)調(diào)無限維線性空間的特征即可。
第八節(jié)線性賦范空間和Banach空間
范數(shù)，線性賦范空間和Banach空間的概念；依范數(shù)收斂；空間；空間；空間；空間；空間；空間；有限維賦范空間的拓?fù)渫瑯?gòu)性。
考核要求：
掌握度量空間，線性賦范空間和Banach空間的概念和性質(zhì)；掌握映射連續(xù)性，度量空間的完備性等概念；熟悉空間，空間，空間，空間，空間，空間；透徹理解壓縮映像原理及其簡單應(yīng)用。能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。
第二章線性有界算子和線性連續(xù)泛函
考試要點(diǎn)：
線性有界算子，線性連續(xù)泛函，線性算子空間，共軛空間。
考試內(nèi)容：
第一節(jié)線性有界算子與線性連續(xù)泛函
線性有界算子與線性連續(xù)泛函的概念，例子，有界與連續(xù)的等價(jià)性，線性有界算子零空間的性質(zhì)，算子范數(shù)。
第二節(jié)線性算子空間和共軛空間
線性算子空間的結(jié)構(gòu)及其完備性，共軛空間，保距算子，同構(gòu)映照，同構(gòu)，一些具體空間的共軛空間。
考核要求：
掌握線性有界算子，線性連續(xù)泛函，有界性，連續(xù)性，算子范數(shù)，共軛空間，保距算子，同構(gòu)映照，同構(gòu)等基本概念；掌握有界與連續(xù)的等價(jià)性定理，基本定理；能夠計(jì)算簡單的算子范數(shù)和一些具體空間的共軛空間。能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。
第三章內(nèi)積空間和Hilbert空間
考試要點(diǎn)：
內(nèi)積空間，投影定理，Hilbert空間，就范直交系，Hilbert空間上線性連續(xù)泛函的表示。
考試內(nèi)容：
第一節(jié)內(nèi)積空間的基本概念
內(nèi)積空間與Hilbert空間的定義，平行四邊形公式，內(nèi)積空間的判定。
第二節(jié)投影定理
點(diǎn)到集合的距離，凸集，極小化向量定理，集合的正交，Hilbert空間的正交分解，投影算子及其性質(zhì)。
第三節(jié)Hilbert空間中的就范直交系
就范直交系，F(xiàn)ourier系數(shù)集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定義與判定,Fourier展式，Gram-Schmidt正交化過程，Hilbert空間的同構(gòu)。
第四節(jié)Hilbert空間上的線性連續(xù)泛函
Riesz表示定理，共軛算子及其性質(zhì)。
第五節(jié)自伴算子、酉算子和正常算子
自伴算子、酉算子和正常算子的基本概念與簡單性質(zhì)。
考核要求：
掌握內(nèi)積空間，Hilbert空間，平行四邊形公式，就范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，F(xiàn)ourier展式，投影算子，共軛算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握極小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理,Riesz表示定理等基本定理的內(nèi)容與證明；能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。
第四章Banach空間中的基本定理
考試要點(diǎn)：
Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，線性賦范空間中的共軛算子，
第一節(jié)泛函延拓定理
次線性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的實(shí)形式、復(fù)形式及其推論。
第二節(jié)的共軛空間、Riesz表示定理
第三節(jié)共軛算子
第四節(jié)線性賦范空間中共軛算子的定義及性質(zhì)。
第五節(jié)綱定理和一致有界性定理
第一綱集，第二綱集，Baire綱定理,一致有界性定理、強(qiáng)收斂、弱收斂、弱*收斂和一致收斂的定義，例子，相互關(guān)系，強(qiáng)收斂的充要條件。
第六節(jié)逆算子定理
逆算子定理及其證明。
第七節(jié)閉圖象定理
線性算子的圖象，閉算子，閉圖象定理。
考核要求：
掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire綱定理，逆算子定理，閉圖象定理是泛函分析基礎(chǔ)理論的主要構(gòu)成部分，要求熟練掌握這些內(nèi)容；能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。
第五章線性算子的譜
考試要點(diǎn)：
簡要介紹線性算子的譜的概念，基本性質(zhì)。
譜的概念
正則算子，正則點(diǎn)，正則集，譜點(diǎn)，特征值，特征向量，點(diǎn)譜，連續(xù)譜，例子。
第一節(jié)線性有界算子譜的基本性質(zhì)
譜集的閉性。
考核要求：
了解線性算子的譜的概念，基本性質(zhì)。
參考書目
1、程其襄等，《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》，高等教育出版社，1983，第一版。
2、王聲望，鄭維行，《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》，第二冊(cè)，高等教育出版社，1992，第二版。
3、夏道行等，《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，下冊(cè)，高等教育出版社，1985，第二版。
解析幾何
一、考核概要
解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何。它把局限于形、相的定性研究推進(jìn)到可以計(jì)算的定量研究的層面。為初等幾何提供了新的研究方法；為學(xué)習(xí)高等代數(shù)提供了具體的模型；為學(xué)習(xí)經(jīng)典分析準(zhǔn)備必要的知識(shí)。同時(shí)也為力學(xué)、物理學(xué)以及一切工程技術(shù)提供必要的數(shù)學(xué)工具。
《解析幾何》課程要求學(xué)生掌握解析幾何的思想，基本理論和研究方法；積累必要的數(shù)學(xué)知識(shí)；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、建立數(shù)學(xué)模型的能力、推理與演算的能力。
二、考核內(nèi)容
《空間解析幾何》課程的主要內(nèi)容有向量代數(shù)、軌跡與方程、平面及空間中的直線和曲線、幾類特殊曲面、二次曲面的一般理論等五個(gè)部分。
在空間中引進(jìn)向量，實(shí)質(zhì)是使空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)的過程。向量的運(yùn)算能夠解決幾何中的具有仿射性質(zhì)的幾類基本問題和有關(guān)變量的幾類基本問題。再通過坐標(biāo)法、建立軌跡（曲面、曲線）的方程，從而將研究曲線和曲面的幾何問題歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問題。包括研究圖形的性質(zhì)、相互位置關(guān)系、方程的形式及相互轉(zhuǎn)化以及建立各種形式的方程的方法等方面。對(duì)二次曲面的一般理論的討論，自然而然地引進(jìn)了坐標(biāo)變換的方法，再進(jìn)一步就可以轉(zhuǎn)到關(guān)于線性變換的代數(shù)理論的研究。由二次曲面方程的系數(shù)構(gòu)成的若干個(gè)不變量和半不變量，完全可以刻劃二次曲面的各種性質(zhì)，但不能確定二次曲面在空間中的位置。這也是一個(gè)十分重要的概念和思想。
第一章向量與坐標(biāo)
考核要點(diǎn)：
向量的概念與運(yùn)算、坐標(biāo)與坐標(biāo)系、用坐標(biāo)進(jìn)行向量的運(yùn)算、向量共線或共面的必要條件。
考核內(nèi)容：
1·1向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的線性關(guān)系和向量分解
向量的定義、向量的模、單位向量、零向量、相等的向量、相反的向量、向量的共線與共面、向量的自由平移性、向量的加法及運(yùn)算律、向量的減法、向量的數(shù)乘及運(yùn)算律、向量的線性組合、向量由其它向量的線性表出、向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義和有關(guān)定理。
1·2坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)
仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系、右手系、向量在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)、坐標(biāo)系的基底、用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算、共線與共面的充要條件、定比分點(diǎn)。
1·3向量在給定方向上的射影
射影的定義和有關(guān)定理
1·4向量的內(nèi)積
向量內(nèi)積的定義和運(yùn)算律、二向量垂直的充要條件、用坐標(biāo)進(jìn)行向量內(nèi)積運(yùn)算、兩點(diǎn)距離公式、向量的方向余弦、二向量之夾角。
1·5向量的外積
向量外積的定義及運(yùn)算律、幾何意義、用坐標(biāo)進(jìn)行外積運(yùn)算、二向量共線的充要條件。
1·6三向量的混合積
混合積的定義及運(yùn)算律、幾何意義、三矢共面的充要條件、用坐標(biāo)進(jìn)行混合積運(yùn)算。
考核要求：
本章是建立解析幾何理論的基礎(chǔ)和工具。學(xué)生應(yīng)深刻理解空間的幾何結(jié)構(gòu)是如何實(shí)現(xiàn)代數(shù)化的。并能熟練掌握和運(yùn)用向量的基本知識(shí)，解決關(guān)于共線、共面、定比分點(diǎn)等仿射性質(zhì)的問題；解決關(guān)于長度、夾角、面積、體積等度量問題。
第二章軌跡與方程
考核要點(diǎn)：
軌跡與方程的關(guān)系、普通方程與參數(shù)方程、建立方程的方法。
考核內(nèi)容：
2·1平面曲線的方程
平面曲線與其方程的關(guān)系、平面曲線的普通方程和參數(shù)方程、各種形式的方程相互轉(zhuǎn)化。
2·2曲面的方程
曲面的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、建立曲面方程的方法、球面和圓柱面的方程。
2·3母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程
柱面的準(zhǔn)線和母線、母線平行于坐標(biāo)軸的橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面的方程。
2·4空間曲線的方程
空間中的二曲面的交線、空間曲線的參數(shù)方程、空間曲線的投影柱面。
考核要求：
建立動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程是解析幾何的基本思想。學(xué)生應(yīng)當(dāng)深刻理解軌跡與其方程之間的關(guān)系，能熟練地掌握建立曲面或曲線的方程的方法以及直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的相互轉(zhuǎn)化。
第三章平面與空間直線
考核要點(diǎn)：
平面與空間直線的各種形式的方程，平面與平面、平面與點(diǎn)、平面與直線、直線與點(diǎn)、直線與直線之間的相關(guān)位置。
考核內(nèi)容：
3·1平面的方程
平面的方位向量、向量式參數(shù)方程、平面的一般方程及討論、平面的單位正法向量、法式方程。
3·2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置
點(diǎn)到平面的離差、距離、平面劃分空間問題及三元一次不等式的幾何意義
3·3兩平面的相關(guān)位置
二平面平行、重合、相交、二平面所成的二面角、二平面垂直的充要條件。
3·4空間直線的方程
直線的方向向量、直線的向量或參數(shù)方程、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的一般方程、直線射影式方程
3·5直線與平面的相關(guān)位置
直線平行于平面、直線在平面上、直線與平面相交、直線與平面的夾角。
3·6空間兩直線的相關(guān)位置、
直線的共面與異面、空間兩直線異面、相交、平行、重合的充要條件、空間兩直線的夾角、異面直線間的距離與公垂線方程。
3·7空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置
點(diǎn)到直線的距離
3·8平面束
有軸平面束的方程、平行平面束的方程。
考核要求：
本章是空間解析幾何的基本內(nèi)容、學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練掌握平面和空間直線的各種形式的方程和建立這些方程的方法、熟練掌握各種相關(guān)位置的解析表達(dá)式和計(jì)算公式。
第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)面與二次曲面
考核要點(diǎn)：
柱面方程、錐面方程、旋轉(zhuǎn)面方程的建立方法、齊次方程、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程、橢球面、雙曲面、拋物面的方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線族方程。
考核內(nèi)容：
4·1柱面
柱面的母線方向、準(zhǔn)線、柱面的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。
4·2錐面
錐面的頂點(diǎn)、準(zhǔn)線和母線、錐面的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、齊次方程。
4·3旋轉(zhuǎn)曲面
旋轉(zhuǎn)軸、母線、經(jīng)線與緯線、一般旋轉(zhuǎn)曲面的直角坐標(biāo)方程的建立方法、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程。
4·4橢球面
橢球面的直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程
4·5雙曲面
單葉雙曲面與雙葉曲面的方程及討論
4·6拋物面
橢圓拋物面與雙曲拋物面的方程及討論
4·7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。
單葉雙曲面的直母線族方程、雙曲拋物面的直母線族方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線的性質(zhì)。
考核要求：
本章介紹空間中的幾類有突出幾何特征和應(yīng)用廣泛的曲面。學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟悉這幾類曲面的方程和圖形。曲面是空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以由一條曲線按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)生成，有的曲面可以由一族曲線（包括直線）生成，學(xué)生應(yīng)了解和領(lǐng)會(huì)這種方法。
第五章二次曲面的一般理論
考核要點(diǎn)：
二次曲面的漸近方向與非漸近方向、中心、切線、切平面、奇點(diǎn)、徑面、奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根、二次曲面方程的化簡與分類、直角坐標(biāo)變換、應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方程。
考核內(nèi)容：
5·1二次曲面與直線的相關(guān)位置
二次曲面與直線相關(guān)位置的6種情況的討論
5·2二次曲面的漸近方向與中心
漸近方向與非漸近方向、中心與中心坐標(biāo)、中心二次曲面、線心二次曲面、面心二次曲面、無心二次曲面。
5·3二次曲面的切線與切平面
切線的定義、充要條件、切平面方程、奇點(diǎn)。
5·4二次曲面的徑面與奇向
徑面的定義、徑面的方程、共軛弦和共軛方向、徑面的性質(zhì)、奇向。
5·5二次曲面的主徑面與主方向、特征方程與特征根
主徑面、主方向、特征方程、特征根、特征根的性質(zhì)。
5·6二次曲面方程的化簡與分類
空間直角坐標(biāo)變換及變換公式、由新坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)平面確定的坐標(biāo)變換及變換公式、二次曲面方程的化簡與分類。
5·7應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方程
不變量與半不變量、五類二次曲面的判別、應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方程。
考核要求：
本章是空間解析幾何的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟悉二次曲面的一系列概念以及確定它們的方法；理解二次曲面一般理論的討論方法；掌握坐標(biāo)變換方法和應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方法。
參考書目
[1]呂林根、許子道.解析幾何.北京：高等教育出版社，2001年第3版.
[2]南開大學(xué)主編.空間解析幾何.北京：高等教育出版社，2002年.
[3]呂林根、許子道.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書.北京：高等教育出版社，2006年.
[4]劉建成、賀群.空間解析幾何.北京：科學(xué)出版社，2018年.
原文標(biāo)題：西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2023年碩士研究生招生考試自命題《綜合考試》科目參考大綱
原文鏈接：https://yjsy.nwnu.edu.cn/2022/0629/c2701a192505/page.htm
以上就是小編整理“2023考研大綱：西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2023年碩士研究生招生考試自命題《綜合考試》科目參考大綱”的全部內(nèi)容，想了解更多考研復(fù)試大綱信息，請(qǐng)持續(xù)關(guān)注本網(wǎng)站！
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