極限的四則運(yùn)算法則：
極限的四則運(yùn)算法則是在學(xué)習(xí)了極限概念和無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之后的又一重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分的重要基礎(chǔ)知識(shí)。
在進(jìn)行極限的四則運(yùn)算法則之前，需要對(duì)極限的概念、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念、無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的關(guān)系等基本內(nèi)容都有初步學(xué)習(xí)和了解，而對(duì)于如何利用無(wú)窮小量的運(yùn)算法則、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系求取函數(shù)的極限，以及利用觀察法求取數(shù)列的極限和簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，需要進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與掌握。
極限的四則運(yùn)算公式表
公式
加減法 ， ，則
乘法 ， ，則
除法 ， ，且y≠0，B≠0，則
極限的四則運(yùn)算法則是兩個(gè)函數(shù)的極限都存在，并且分母的極限還不等于0的情況下，當(dāng)這兩個(gè)條件都滿足的，那么兩個(gè)函數(shù)在和、差、積、商的極限和這兩個(gè)函數(shù)的極限的和、差、積、商都相等;對(duì)于一個(gè)常數(shù)與一個(gè)函數(shù)的乘積的極限的情況，其結(jié)果等于這個(gè)常數(shù)與這個(gè)函數(shù)的極限乘積;并且一個(gè)函數(shù)的乘方的極限和這個(gè)函數(shù)的極限乘方也是相等的。在解決具體問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行運(yùn)算和解答，重視實(shí)際應(yīng)用。
當(dāng)極限的函數(shù)是一個(gè)整式，可以直接運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算。例如，當(dāng)x趨近于1時(shí)，分母的極限不是0，可以直接對(duì)法則進(jìn)行運(yùn)用和計(jì)算。
例： = =
三 極限的四則運(yùn)算法則在進(jìn)行函數(shù)極限求解時(shí)需要注意的事項(xiàng)
第一，對(duì)于分式來(lái)說(shuō)，當(dāng)其分母的極限不等于0時(shí)，才能直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則進(jìn)行求解。
第二，避免一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，例如對(duì)c/0=∞，(c為任意的常數(shù))，∞-∞=0，∞/∞=0等。
第三，對(duì)于無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量來(lái)說(shuō)，其和未必是無(wú)窮小量。
四 極限的四則運(yùn)算法則的歸類
1.x→x0這種情況
第一，當(dāng)函數(shù)f(x)是一個(gè)整式，可以對(duì)極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行直接的運(yùn)用和計(jì)算，或是直接對(duì)f(x0)進(jìn)行求解。
第二，當(dāng)函數(shù)f(x)是一個(gè)分式，其分母的極限等于0，而要注意分子的極限并不等于0，那么便可以對(duì)極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行直接的運(yùn)用并計(jì)算，或者求出f(x0)。
第三，在函數(shù)f(x)是個(gè)分式的情況下，當(dāng)分母的極限
為0時(shí)，那么分子的極限不等于0，可以先對(duì)lim =0
進(jìn)行求解，再根據(jù)無(wú)窮小量和無(wú)窮大量這之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行計(jì)算。
第四，當(dāng)f(x)是個(gè)分式，如果其分母的極限還有分子極限都等于0，先讓其分子和分母中的公因式進(jìn)行約分，或者是讓含有根號(hào)的分子或分母有理化，再進(jìn)行約分，然后利用極限的四則運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算，從而得到正確的結(jié)果。
2.x→∞的情形
在x→∞的情形下，函數(shù)的極限值主要是由分子、分母的最高次冪項(xiàng)的次數(shù)之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行決定的，需要對(duì)分子分母的最高次冪項(xiàng)進(jìn)行分析。
3.其他的情形
在進(jìn)行求解的過(guò)程中有時(shí)用到有關(guān)無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于代數(shù)和與乘積的極限而言，要注意其所強(qiáng)調(diào)的“有限個(gè)無(wú)窮小量”，但如果這個(gè)條件沒(méi)有辦法得到滿足，就不能用這個(gè)性質(zhì)來(lái)進(jìn)行極限的求解。
第五，運(yùn)用極限四則運(yùn)算法則求極限時(shí)常見(jiàn)的錯(cuò)誤
在進(jìn)行數(shù)列極限的計(jì)算中，對(duì)于四則運(yùn)算法則的運(yùn)用，需要注意一些問(wèn)題：對(duì)數(shù)列極限的加、減和乘的運(yùn)算法則能夠把有限個(gè)數(shù)列進(jìn)行推廣，在這種情況下，不能對(duì)有限個(gè)數(shù)列的情況進(jìn)行適用。在這個(gè)法則里還指出，“若兩個(gè)數(shù)列都有極限的存在”，這是對(duì)數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則運(yùn)用的一個(gè)前提條件。在利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，注重兩點(diǎn)，一是法則對(duì)于每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限都必須是存在的;二是商的極限的運(yùn)算法則有個(gè)很重要的前提，分母的極限不能為0。當(dāng)這兩個(gè)條件中任何一個(gè)條件不能滿足的時(shí)候，不能利用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。
總之，極限的四則運(yùn)算法則作為極限內(nèi)容中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，需要引起重視，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，尤其要注意法則的使用條件，從而避免錯(cuò)誤的出現(xiàn)。
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